TY - JOUR
T1 - Trigonometrische Interpolation von Funktionen beschränkter Variation
AU - Prestin, Jürgen
PY - 1985/1/1
Y1 - 1985/1/1
N2 - Bei Konvergenzuntersuchungen von Näherungsverfahren für singuläre Integralgleichungen wendeten S. Prössdorf und B. Silbermann die trigonometrische Interpolation yon Funktionen beschränkter Variation an. Sie gaben dafür eine Konvergenzordnung in der L2‐Norm an, die später von K. Zacharias verschärft wurde. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, in Analogie zur Approximation durch die n‐te Fouriersumme, Aussagen über die trigonometrische Interpolation von Funktionen beschränkter Variation zu gewinnen. Es wird die zugehörige Norm des Interpolationsoperators nach oben abgeschätzt. Für den Lp‐Fall (2 ⩽ < ∞) erhält man eine von p abhängige Konvergenzgeschwindigkeit. Entsprechend schärfere Resultate ergeben sich, wenn die l‐te Ableitung der Funktion (l=1, 2, …) von beschränkter Variation ist. Dann lassen sich auch für die Sobolevnorm Restglied‐abschäzungen beweisen. Insbesondere können für diese Ergebnisse O‐Konstanten angegeben werden. Es zeigt sich, daß die Konvergenzordnung der trigonometrischen Interpolation einer Funktion f beschränkter Variation nicht schlechter als die der besten Approximation von f durch trigonometrische Polynome ist.
AB - Bei Konvergenzuntersuchungen von Näherungsverfahren für singuläre Integralgleichungen wendeten S. Prössdorf und B. Silbermann die trigonometrische Interpolation yon Funktionen beschränkter Variation an. Sie gaben dafür eine Konvergenzordnung in der L2‐Norm an, die später von K. Zacharias verschärft wurde. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, in Analogie zur Approximation durch die n‐te Fouriersumme, Aussagen über die trigonometrische Interpolation von Funktionen beschränkter Variation zu gewinnen. Es wird die zugehörige Norm des Interpolationsoperators nach oben abgeschätzt. Für den Lp‐Fall (2 ⩽ < ∞) erhält man eine von p abhängige Konvergenzgeschwindigkeit. Entsprechend schärfere Resultate ergeben sich, wenn die l‐te Ableitung der Funktion (l=1, 2, …) von beschränkter Variation ist. Dann lassen sich auch für die Sobolevnorm Restglied‐abschäzungen beweisen. Insbesondere können für diese Ergebnisse O‐Konstanten angegeben werden. Es zeigt sich, daß die Konvergenzordnung der trigonometrischen Interpolation einer Funktion f beschränkter Variation nicht schlechter als die der besten Approximation von f durch trigonometrische Polynome ist.
UR - http://www.scopus.com/inward/record.url?scp=84985321595&partnerID=8YFLogxK
U2 - 10.1002/mana.19851220104
DO - 10.1002/mana.19851220104
M3 - Zeitschriftenaufsätze
AN - SCOPUS:84985321595
SN - 0025-584X
VL - 122
SP - 29
EP - 43
JO - Mathematische Nachrichten
JF - Mathematische Nachrichten
IS - 1
ER -