Modellierung von Tumorwachstum: Über stabile explizite und implizite numerische Verfahren zur Lösung eines Anfangsrandwertproblems

Motivation: Die vorliegende Arbeit diskutiert einen bildbasierten Ansatz zur Modellierung der raum-zeitlichen Dynamik primärer Hirntumoren. Ziel einer mathematischen Modellbildung ist es beispielsweise ($i$) Hypothesen über den Verlauf der Krankheit zu prüfen oder ($ii$) ein generisches Werkzeug bereitzustellen, um die Interpretation medizinischer Bilddaten zu unterstützen. Die raum-zeitliche Dynamik der Population kanzeröser Zellen auf Gewebeebene, welche wir in der vorliegenden Arbeit exklusiv betrachten, wird typischerweise über ein Anfangsrandwertproblem (ARWP) erklärt. Zu dessen Lösung wird in nahezu allen publizierten Arbeiten ein Euler-Cauchy-Verfahren (ECV) verwendet (siehe [1,2]). Dieses besitzt den Nachteil der Existenz einer oberen Schranke für die maximale zeitliche Schrittweite (CFL Bedingung). Damit wird das Verfahren für große Simulationszeiträume ineffizient. Eine gängige Strategie, diese Restriktion zu umgehen, ist die Verwendung impliziter Verfahren.