Trigonometrische Interpolation von Funktionen beschränkter Variation

Bei Konvergenzuntersuchungen von Näherungsverfahren für singuläre Integralgleichungen wendeten S. Prössdorf und B. Silbermann die trigonometrische Interpolation yon Funktionen beschränkter Variation an. Sie gaben dafür eine Konvergenzordnung in der L2‐Norm an, die später von K. Zacharias verschärft wurde. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, in Analogie zur Approximation durch die n‐te Fouriersumme, Aussagen über die trigonometrische Interpolation von Funktionen beschränkter Variation zu gewinnen. Es wird die zugehörige Norm des Interpolationsoperators nach oben abgeschätzt. Für den Lp‐Fall (2 ⩽ < ∞) erhält man eine von p abhängige Konvergenzgeschwindigkeit. Entsprechend schärfere Resultate ergeben sich, wenn die l‐te Ableitung der Funktion (l=1, 2, …) von beschränkter Variation ist. Dann lassen sich auch für die Sobolevnorm Restglied‐abschäzungen beweisen. Insbesondere können für diese Ergebnisse O‐Konstanten angegeben werden. Es zeigt sich, daß die Konvergenzordnung der trigonometrischen Interpolation einer Funktion f beschränkter Variation nicht schlechter als die der besten Approximation von f durch trigonometrische Polynome ist.