Measure-Valued Variational Models with Applications in Image Processing

Im Zentrum dieser Arbeit stehen maßwertige Modelle für die Bildverarbeitung. Solche Modelle dienen einerseits als mathematischer Rahmen für die Handhabung von diffusi- onsgewichteten MRT-Datensätzen. Andererseits bilden sie die Grundlage einer globalen Lösungsstrategie für eine große Klasse von Bildverarbeitungsproblemen wie Bildverbes- serung, -restauration oder -registrierung, die häufig aufgrund von Nichtkonvexität nur schwierig global optimal zu lösen sind. Sogenannte Q-Ball-Daten aus der diffusionsge- wichteten Magnetresonanztomographie beschreiben die lokale Verteilung der Diffusions- richtung von Wasser in faserigem organischem Gewebe mit Hilfe von Wahrscheinlich- keitsmaßen. In dieser Arbeit wird ein Regularisierer entwickelt und analysiert, der – analog zur in der Bildverarbeitung häufig verwendeten Totalvariationsnorm – für die strukturerhaltende Rauschentfernung von Q-Ball-Daten geeignet ist. Weitergehend wird die als Funktionalanheben (engl. functional lifting) bekannte globale Lösungsstrategie so angepasst, dass sie auf eine große Klasse von Bildverarbeitungsproblemen mit Werten in Mannigfaltigkeiten anwendbar ist. Die numerische Implementierung dieses Ansatzes basiert auf einer effizienten Diskretisierung mittels finiter Elemente. Im nächsten Schritt wird das Funktionalanheben auch für Probleme mit Ableitungen höherer Ordnung ver- allgemeinert, was vor allem in der Bildregistrierung eine interessante Anwendung findet. Den Abschluss der Arbeit bildet die Ausformulierung eines mathematischen Models, das alle zuvor genannten Strategien des Funktionalanhebens in einer gemeinsamen Sprache vereint, der maßwertige Funktionen und Konzepte aus den Bereichen der Funktionalana- lysis und des dynamischen optimalen Transports zugrunde liegen.