Ordinal-Pattern-Dependence: Grenzwertsätze und Strukturbrüche im langzeitabhängigen Fall mit Anwendungen in Hydrologie, Medizin und Finanzmathematik

In der Biologie wie auch in der Finanzmathematik werden häufig nicht-lineare Zusammenhänge durch mathematische Korrelation modelliert. Dies geschieht, obwohl den Akteuren bekannt ist, dass mathematische Korrelation nur eine lineare Abhängigkeit widerspiegelt. Im Jahr 2014 habe ich eine alternative Methode zur Beschreibung von Abhängigkeit eingeführt, die auf sogenannten ordinalen Mustern beruht. Gemeinsam mit Herold Dehling konnte ich in den vergangenen zwei Jahren zeigen, dass sich die Parameter, die für meine Methode eine Rolle spielen, aus gegebenen Daten schätzen lassen und, dass wir Änderungen im Grad der Abhängigkeit aufspüren können. Alle Resultate sind bisher auf den sogenannten kurzzeitabhängigen Fall beschränkt. Bei der ordinalen Muster-Analyse verwendet man nicht die volle Information der Daten. Stattdessen betrachtet man für jeweils n aufeinanderfolgende Punkte nur deren relative Lage. Diese wird in einem archetypischen Muster codiert. Wenn man besonders häufig dieselben Muster (an denselben Zeitpunkten) in beiden Zeitreihen findet, so spricht man von positiver ordinaler Muster-Abhängigkeit; findet man gespiegelte Muster, entsprechend von negativer Abhängigkeit. Es zeigte sich schnell, dass die ordinale Muster-Abhängigkeit auch in hydrologischen Datensätzen auftaucht. Gerade in diesem Feld spielen Änderungen in der Abhängigkeit (gemeinsame Hochwasser verschiedener Flüsse etc.) eine entscheidende Rolle. Durch den Klimawandel hat sich das Bedürfnis nach einfachen und zugleich robusten Schätzmethoden noch einmal erhöht. Es ist bekannt, dass Hochwasserdaten langzeitabhängig sind. Um solche Datensätze auf eine Änderung in der Abhängigkeitsstruktur zu untersuchen, müssen die theoretischen Resultate auf den langzeitabhängigen Fall, der technisch wesentlich aufwändiger ist, erweitert werden. Neben diesem Hauptziel sollen in dem beantragten Projekt auch mehrdimensionale Verallgemeinerungen eingeführt und untersucht werden. Auch wird es darum gehen, den Zusammenhang mit anderen Methoden der Abhängigkeitsmessung zu vergleichen (theoretisch wie auch durch Simulationen). Im praktischen Teil des Projekts soll ein Computerprogramm entstehen, welches unter anderem Datensätze auf Langzeitabhängigkeit testet und Änderungen in der Abhängigkeit aufspürt. Wir werden mit Fachwissenschaftlern der jeweiligen Disziplinen konkrete Zeitreihen aus den Bereichen Biologie, Hydrologie und Finanzmathematik mit Hilfe des Programms untersuchen. Außerdem werden wir diese Software veröffentlichen um anderen Wissenschaftlern die Möglichkeit zu geben eine entsprechende Analyse durchzuführen. Wir vermuten, dass es noch viele weitere Anwendungsfelder für die ordinale Muster-Abhängigkeit gibt, da sie skalenfrei und robust ist.