Nichtlineare massenerhaltende Registrierung für Magnetresonanztomographie (MRI) und Positronenemissionstomographie (PET)

Image registration is an important task in medical imaging. The problem is to automatically establish point-to-point correspondences between objects sensed at different times, with different devices, or from different perspectives. Image registration is essential for applications such as motion correction or data fusion. As image registration is an ill-posed inverse problem, proper modeling and additional constraints on the wanted transformation field become inevitable. Mass-preservation (MP) is one of those constraints that proved to be crucial for the correction of image distortions due to field inhomogeneities in Magnetic Resonance Imaging (MRI) and the respiratory and cardiac motion correction in thoracic Positron Emission Tomography (PET). A wide utilization of MP techniques in those medical applications requires, however, the solution of challenging mathematical questions to be addressed in this project. Existing MP techniques will hence be optimized with respect to numerical efficiency and implementation. Problem specific data fidelities will yield an improved robustness against noise and even simplifications of the algorithms. A key component yielding existence of solutions in MP setting is a regularization energy based on nonlinear elasticity. This outstanding regularizer and its numerical discretization will hence be further investigated in this project. A deep mathematical understanding of the developed models will be gained by using regularization theory for inverse problems.

Das Projekt zielt auf die Analyse von zwei Modellen zur Registrierung mit Rauschmodellierung und der bewegungskorrigierten Rekonstruktion. Ein wesentliches Ergebnisse ist die in dem Projekt klar gezeigte Verbindung über ein erweitertes Funktional. Die Fragestellungen beider Modelle hängen eng miteinander zusammen, da in beiden Fällen Bilder sowie Bewegung simultan geschätzt werden. Konsequenterweise baut die im dem Projekt erarbeitete Analysis für beide auf das gleiche theoretische Fundament auf: Mit Hilfe eines verallgemeinerten Transformationssatzes kann die Änderung der Gesamtmasse eines Bildes nach Anwendung der Transformation kontrolliert werden. Als wesentlich stellte sich die Kontrolle der Injektivität der Transformation heraus, was weitere Fragestellungen theoretischer aber auch numerischer Natur impliziert. Der erste Fokus des Projekt lag auf Implementierung und Analyse eines von Christoph Brune im Rahmen seiner Promotion an der WWUMünster formulierten Modells zur bewegungskorrigierten Rekonstruktion. Die Analyse ergab, dass eine Erweiterung der klassichen Innitesimalrechnung auf Soobolev Funktionen notwendig war. Hierzu wurden zunächst Ergebnisse der geometrischen Maÿtheorie und der Strömungstheorie zusammengetragen und auf das dem Projekt zugrundeliegende Rekonstruktionsproblem angewandt. Mit diesen Hilfsmitteln konnte in dem Projekt ein Existenzresultat für eine breite Klasse von Transformationen und Distanzmaÿen gezeigt werden. Weiterhin wurde nachgewiesen, dass das hergeleitete Modell auch eine Regularisierungsmethode ist und die errechnete Lösung als Minimum-Norm Lösung verstanden werden kann. Ein weiterer Fokus des Projekts ergab sich aus Überschneidungen mit dem Promotionsthema von Daniel Tenbrinck an der WWU Münster. Tenbrinck untersuchte das Optical-Flow-Problem mit Rauschmodellierung. Diese Idee wurde für das Registrierungsproblem erweitert; dabei wurden zunächst für verschiedene Rauschtypen und Transformationsmodelle entsprechende Registrierungsfunktionale hergeleitet und mit Hilfe der FAIR Toolbox auch implementiert. Überraschenderweise ergab die von Sebastian Suhr im Rahmen dieses Projekt durchgeführten Analyse, dass für Masse-erhaltende Transformationsmodelle Existenz eines Minimierers für eine breite Klasse an Rauschdistanzen garantiert ist, während dies für die Intensitäts-erhaltende nicht gilt. Ein Technologietransfer zeichnet sich in Hinblick auf Untersuchungen von präklinischen Daten (Moving Mice Projekt in Zusammenarbeit mit dem EIMI Münster) und Patientendaten ab.