Approximationseigenschaften von Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren

Interpolation und Quasi-Interpolation sind bedeutsame mathematischen Methoden, die in vielen Bereichen der Wissenschaft und des Ingenieurwesens verwendet werden. Sie spielen eine große Rolle als Bindeglied zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen. Für eine geeignete Anwendung der Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren ist es sehr wichtig, die Güte der Approximation von Funktionen durch solche Operatoren in verschiedenen Situationen zu kennen.Das Hauptziel dieses Projektes ist das Studium von Approximationseigenschaften von Klassen dieser Interpolations- und Quasi-Interpolations-Operatoren in verschiedenen Funktionenräumen, wie gewichteten Lp-Räumen, Sobolev-Räumen, Lipschitz-Räumen und anderen wichtigen Funktionenräumen, die auf dem d-dimensionalen Euklidischen Raum, Torus und Hyperwürfel definiert werden. Insbesondere planen wir, eine Reihe neuer Fehlerschätzungen für Interpolations- und Quasi-Interpolationsoperatoren durch einen einheitlichen Ansatz zu entwickeln, der auf Fourier-Transformationstechniken basiert. Das Hauptaugenmerk in unserer Forschung liegt auf der Entwicklung verschiedener Glattheitsmaße, die abhängig von der betrachteten Aufgabenstellung, d.h. dem Typ des Operators oder des Funktionenraumes, vollständige und adäquate Informationen über die Güte der Approximation einer gegebenen Funktion durch den entsprechenden Operator garantieren. Insbesondere sind wir am Studium der Eigenschaften grundlegender Objekte der harmonischen Analysis und Approximationstheorie wie die Lebesgue-Konstanten der Interpolationsprozesse, die Partialsumme der Fourier-Reihe, die Fourier-Transformation, verschiedene Glättungsmaße (spezielle Stetigkeitsmodule und K-Funktionale) interessiert. Im Mittelpunkt unserer Forschung steht die anisotrope Natur der untersuchten Objekte.